Filière    "PROCESSUS STOCHASTIQUES"  
 
 
 Responsable: J. Bertoin 
 jbe@ccr.jussieu.fr

Chaque étudiant doit réussir les examens de quatre des modules décrits ci-dessous. Il est fortement conseillé de suivre les cours des trois modules proposés au premier semestre, quitte à ne se présenter qu'à un ou deux des examens correspondants. Il est possible de se présenter aux examens de plus de quatre modules.

L'étudiant doit aussi présenter un mémoire, en général effectué sous la direction d'un membre du Laboratoire de Probabilités ou d'un enseignant du D.E.A. Ce mémoire est habituellement rédigé à partir de la lecture approfondie d'un ou plusieurs articles de recherche récents. Les mémoires seront proposés aux étudiants en février 1999. Il est possible de remplacer le mémoire par un stage dans un organisme de recherche ou un bureau d'études, sous la double direction d'un ingénieur de l'organisme d'accueil et d'un enseignant du D.E.A.

Cours proposés :

1er semestre

J. BERTOIN : Mouvement brownien et calcul stochastique.

J. JACOD : Processus de Markov.

S. MELEARD - C. DONATI : Martingales et théorèmes limites.

2ème semestre

a) Enseignements proposés dans la filière``Processus stochastiques".

M. BABILLOT : Modèles probabilistes et systèmes dynamiques.

L. BIRGE : La Sélection de Modèle : entre Statistique paramétrique et Statistique non-paramétrique.

C. LANDIM - S. OLLA : Limite hydrodynamique de systèmes de particules.

A. MILLET : Grandes déviations et applications.

A. TSYBAKOV : Estimation fonctionnelle.

M. YOR : Etude approfondie du mouvement brownien.

b) Les étudiants peuvent aussi suivre les cours de la filière ``probabilités appliquées" au second semestre. partie concernant la filière correspondante).

c) Il est également possible de suivre un cours d'un autre D.E.A. et de le valider comme module du D.E.A. ``Probabilités et Applications", à la condition expresse de l'accord préalable du responsable du D.E.A.

COURS COMPLEMENTAIRES
(Ces cours ont lieu à Paris VII).

D. PICARD : Statistique Asymptotique. (1er semestre)

G. KERKYACHARIAN : Théorie de l'approximation. (2ème semestre)

Mouvement brownien et calcul stochastique

J. Bertoin

2 heures de cours, 2 heures de T.D. par semaine

Ce cours vise à fournir les bases du calcul stochastique (intégrales stochastiques, formule d'Itô, équations différentielles stochastiques) dans le cas continu.

Programme

1) Généralités sur les processus gaussiens. Mesures gaussiennes.
2) Construction du mouvement brownien linéaire et propriétés principales.
3) Martingales et surmartingales à temps continu. Théorèmes d'arrêt et régularité des trajectoires.
4) Intégrale stochastique par rapport à une semi-martingale continue. Formule d'Itô et applications. Représentation des martingales browniennes. Théorème de Girsanov.
5) Equations différentielles stochastiques d'Itô. Critères d'existence et d'unicité. Solutions faibles et solutions fortes.

Références

K.L. Chung, R.J. Williams : Introduction to stochastic integration. Birkhauser (1990).
C. Dellacherie et P.A. Meyer : Probabilités et Potentiels, Vol. II, Théorie des Martingales. Hermann. (1980).
R. Durrett : Brownian motion and martingales in analysis. Wadsworth (1984).
N. Ikeda, S. Watanabe : Stochastic differential equations and diffusion processes. North Holland (Second edition, 1988).
D. Revuz, M. Yor : Continuous martingales and Brownian motion. Springer (1991).
D.W. Stroock, S.R.S. Varadhan : Multidimensional diffusion processes. Springer (1979).
I. Karatzas, S. Shreve : Brownian motion and stochastic calculus. Springer (1987).
L.C.G. Rogers, D. Williams : Diffusions, Markov Processes and Martingales. Wiley (1987).

Processus de Markov

J. Jacod

2 heures de cours, 2 heures de T.D. par semaine Programme

- Chaînes de Markov, récurrence et transience.
- Processus ponctuels, mesures de Poisson.
- Processus de Markov, générateur infinitésimal, propriété forte de Markov.
- Processus de Markov de saut pur, équations de Kolmogorov.
- Lois indéfiniment divisibles.
- Processus à accroissements indépendants, leurs générateurs, les rapports avec les mesures de Poisson.

Une bibliographie sera donnée pendant le déroulement du cours.

Martingales et théorèmes limites S. Méléard, C. Donati

2 heures de cours, 2 heures de T.D. par semaine Programme

- Martingales discrètes et applications.
- Convergence des mesures. Théorème de Prokhorov. Théorème de représentation de Skorohod.
- Convergence des processus continus et càdlàg.
- Processus stationnaires et théorie ergodique.

Références

Neveu :  Martingales à temps discret. Masson (1972)
Billingsley : Convergence of probability measures. Wiley (1969).
Parthasarathy : Probability measures on metric spaces. Academic Press (1967).
Jacod et Shiryaev : Limit theorems for stochastic processes. Springer (1987).
Ethier et Kurtz : Markov processes. Characterization and convergence. Wiley (1986).

Modèles probabilistes et systèmes dynamiques. M. Babillot

2 heures de cours par semaine.

Résumé :  Un système dynamique est la donnée d'une transformation T -ou plus généralement d'un groupe de transformations- agissant sur un espace mesuré . Les exemples les plus simples sont les translations de , de , ou les rotations du cercle unité. Dans ces exemples, les trajectoires de deux points restent à distance fixe l'une de l'autre, et le système``mélange peu". D'autres systèmes dynamiques ont à long terme un comportement tellement ``erratique" qu'ils sont susceptibles d'être analysés via des modèles probabilistes. Ce sont par exemple les applications dilatantes de l'intervalle, la transformation de Gauss des fractions continues, les transformations hyperboliques du tore ou le flot géodésique sur des variétés à courbure négative.

Le cours se divise en quatre parties :

I.-- Dynamique topologique.
On étudiera les exemples de base de système dynamiques que sont les homéomorphismes du cercle, les applications dilatantes de l'intervalle, les transformations algébriques du tore. Sera introduite la notion d'entropie topologique comme mesure de la complexité de la dynamique.

II.-- Propriétés statistiques d'un système dynamique.
L'existence d'une mesure invariante m pour un système dynamique permet une étude statistique des orbites de la transformation. On étudiera les notions de récurrence, d'ergodicité et de mélange relativement à cette mesure, ainsi que leur interprétation en termes de propriétés spectrales de l'opérateur sur .

III.-- Théorie de l'information, entropie.
Etant donné un système dynamique , l'entropie d'une probabilité invariante m est une mesure du degré d'imprévisibilité de l'évolution future de ce système, sachant tout son passé.

IV.-- Systèmes d'Anosov. Ces systèmes se modélisent par des chaines de Markov topologiques. On recherchera les mesures d'équilibre de tels système, et en particulier la mesure invariante ayant la plus grande entropie. Pour cela, on utilisera la méthode des opérateurs de transfert, introduite par Ruelle, dont les propriétés étendent celles des opérateurs Markoviens.

Références

R. Bowen :  Equililibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms, Lectures Notes in Math. 470, Springer Verlag, (1975)
S. Lalley  : Probabilistic methods in certain counting problems in ergodic theory.
In: Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Bedford, Keane, Series Ed. , Oxford University Press (1991)
W. Parry : Topics in Ergodic Theory. Cambridge University Press, 75, (1981)
W. Parry & M. Pollicott :Zeta Functions and the periodic orbit structure of hyperbolic dynamics. Astérisque 187-188, Soc. Math. France (1990)
Ya. G. Sinai :Introduction to Ergodic Theory. Princeton University Press (1976)
P. Walters :An introduction to Ergodic Theory. Graduate Textes in Maths 79, Springer-Verlag.

La Sélection de Modèle  : entre Statistique paramétrique et Statistique non-paramétrique L. Birgé

2 heures de cours par semaine.

Un des objets principaux de la Statistique Mathématique est le suivant : à partir d'un élément aléatoire X (vecteur d'observations ou trajectoire de processus) de loi inconnue P, reconstituer P (ou une fonction de P). La statistique classique procède ainsi : on se donne un modèle, c'est à dire un ensemble de lois possibles, en supposant que appartient à cet ensemble et l'on cherche à reconstruire P sous la forme . On parlera de problème paramétrique lorsque est une partie d'un espace Euclidien et de problème non-paramétrique lorsque est un espace fonctionnel.

Cette approche soulève immédiatement deux problèmes : comme P est inconnu, rien ne garantit qu'il appartienne à la famille et si l'on admet ceci, c'est à dire que les éléments ne sont que des approximations plus ou moins bonnes de P, comment choisir cette famille. En effet si elle est petite, il y a un grand risque que l'approximation de P par n'importe quel élément de la famille soit mauvaise, si elle est très grande, et même si est dedans, a toutes chances d'être loin de . Il y a donc là un compromis à faire et la Sélection de Modèle est l'art de faire ce compromis de manière optimale, ou presque. Elle permet en outre de bien dégager les liens qui existent entre Statistique paramétrique et Statistique non-paramétrique. Les techniques requises sont des outils sophistiqués de Probabilité, notamment des inégalités de déviation et de concentration et des techniques d'analyse pour la construction de ``bons" modèles. Les applications sont très nombreuses : estimation de densités, sélection de variables en régression, choix d'un ordre d'autorégression,...et la méthode potentiellement applicable à des problèmes d'estimation très variés.

Le but de ce cours est de proposer une méthodologie générale permettant de choisir, parmi les très nombreuses solutions envisageables, un modèle aussi adapté que possible (en particulier au nombre d'observations dont on dispose) à la solution d'un problème statistique donné. On développera aussi, dans le cadre Gaussien, les outils techniques nécessaires à la résolution de tels problèmes.

1) Position du problème, éléments de théorie de la décision, quelques résultats classiques dans un cadre paramétrique.
2) Deux exemples de problèmes de choix de modèles : choix de variables en régression linéaire, estimation d'une densité par histogrammes. Les problèmes non paramétriques comme suites de problèmes paramétriques.
3) Quelques problèmes Gaussiens, les processus isonormaux, un outil fondamental, le théorème de Cirelson, Ibragimov et Sudakov.
4) Un théorème général de sélection de modèles, premières remarques et application à la sélection de variables.
5) Comment calibrer au mieux la pénalité.
6) Applications.

Prérequis :

a) Des bases solides de Théorie générale des Probabilités.
b) Des notions de Statistique paramétrique classique de niveau maîtrise.

Limite hydrodynamique de systèmes de particules

C. Landim, S. Olla

2 heures de cours par semaine.
Programme 1. Limite hydrodynamique de systèmes de particules : la méthode de l'entropie relative, la méthode non gradient et systèmes hyperboliques.
2. Etude du spectre du générateur : inégalités de Poincaré et inégalités de Sobolev logarithmiques.
3. Taux de convergence à l'équilibre de systèmes en volume infini.
4. L'évolution d'une particule marquée : loi des grands nombres et théorèmes de la limite centrale.

Références

M.D. Donsker and S.R.S. Varadhan (1989) : Large deviations from hydrodynamic scaling limit. Comm. Pure Appl. Math 42 243-270.
M.Z. Guo, G.C. Papanicolaou and S.R.S. Varadhan (1988) :  Nonlinear diffusion limit for a system with nearest neighbor interactions. Comm. Math. Phys. 118 31-59.
C. Kipnis and C. Landim (1995) :  Hydrodynamical Limit of Interacting Particle Systems. Preprint.
C. Kipnis, S. Olla, S.R.S. Varadhan (1989) :  Hydrodynamics and large deviations for simple exclusion processes. Comm. Pure Appl. Math., 42, 115-137.
C. Kipnis, S.R.S. Varadhan : Central limit theorem for additive functionals of reversible Markov process and applications to simple exclusions. Comm. Math. Phys. 104, 1-19 (1986).
C. Landim (1993) : Conservation of local equilibrium for asymmetric attractive particle systems on . Ann. Prob. 21 1782-1808.
T.M Liggett (1985) :  Interacting Particle Systems. Springer-Verlag, New York.
S. Olla :  Lectures on Homogenization of Diffusion Processes in Random Fields. Publications de l'Ecole Doctorale de l'Ecole Polytechnique, (1994).
S. Olla, S.R.S. Varadhan et H.T. Yau : Hydrodynamic Limit for a Hamiltonian System with Weak Noise. Comm. Math. Phys. 155, 523-560 (1993).
F. Rezakhanlou : Hydrodynamic limit for attractive particle systems on . Comm.Math.Phys. 140 417-448, (1990).
H. Spohn : Large Scale Dynamics of Interacting Particles, Springer-Verlag New York (1991).
H.T. Yau : Relative entropy and hydrodynamics of Ginsburg-Landau models. Lett. Math. Phys., 22, 63-80, (1991).

Grandes déviations et applications

A. Millet

2 heures de cours par semaine.

Programme Le but du cours est la présentation de méthodes et de résultats classiques de l'étude d'estimations asymptotiques d'''événements rares", c'est-à-dire dont la probabilité tend vers zéro à une vitesse exponentielle. Ces résultats sont utilisés dans l'étude des diffusions, des chaînes de Markov à temps discret et de la mécanique statistique.

1. Grandes déviations en dimension finie : 
- Définition et exemples. Fonction génératrice logarithmique et transformée de Legendre. Théorème de Cramer dans .
- Tension exponentielle. Théorème d'Ellis - Gärtner.
- Théorème de Sanov sur un ensemble fini et principe de Gibbs.
- Chaînes de Markov à espace d'états finis.

2. Grandes déviations sur l'espace des trajectoires : 
- Mouvement Brownien : Théorème de Fernique, Théorème de Schilder, Théorème de Strassen.
- Transformation de principes de grandes déviations : principe de contraction, principe de transfert. Lemme de Varadhan et lemme de Bryc.
- Application aux diffusions : Théorème de Freidlin-Wentzell. Application au problème de la sortie d'un domaine et aux estimations de Varadhan.

3. Grandes déviations pour les mesures empiriques : 
- Théorème de Dawson-Gärtner.
- Théorème de Sanov.
- Application aux chaînes de Markov et aux processus stationnaires.

Références

R. Azencott : Grandes déviations et applications. Ecole d'Eté de Probabilités de Saint-Flour 1978. Lecture Notes in Math. 774, 1980.
A. Dembo, O. Zeitouni : Large Deviations Techniques and Applications. Jones and Barlett Publishers, 1993.
J.D. Deuschel, D.W. Stroock : Large Deviations. Academic Press Inc., 1989.
S.R.S. Varadhan : Large Deviations. Ecole d'Eté de Probabilités de Saint-Flour 1985-87. Lecture Notes in Math. 1362, 1988.

Estimation fonctionnelle

A. Tsybakov

2 heures de cours par semaine.

L'utilisation des modèles paramétriques dans l'estimation statistique est souvent faite pour des raisons de simplicité seulement. Les modèles statistiques qui expliquent plus profondement les données sont plus complexes. Les inconnues de ces modèles sont, en général, des fonctions possèdant certaines propriétés de régularité. Par exemple, une telle fonction inconnue peut être la densité de probabilité des observations. Le problème statistique, dans ce contexte, consiste à estimer, à partir des observations, une fonction inconnue appartenant à une certaine classe fonctionnelle (problème dit de l'estimation non-paramétrique).

La théorie de l'estimation non-paramétrique est développée considérablement les deux dernières décennies. En parallèle, dans les applications et les logiciels statistiques les méthodes non-paramétriques se sont introduites et remplacent parfois les outils paramétriques classiques.

Ce cours est une introduction aux problèmes statistiques d'estimation non-paramétrique. Il donne un aperçu des méthodes non-paramétriques courantes et développe les idées principales et les outils mathématiques nécessaires pour aborder ce domaine de recherche. Contrairement à la théorie paramétrique, on y retrouve une grande diversité de techniques liées aux différentes classes de fonctions et diverses distances utilisées pour mesurer la perte. Le choix des méthodes optimales d'estimation fonctionnelle occupera la place centrale dans ce cours. Les thèmes importants étudiés dans ce contexte sont l'analyse de la qualité de l'estimation, y compris les bornes inférieures (les analogues non-paramétriques de la borne de Cramér-Rao), mais aussi la construction de bons estimateurs sans perte de précision quand la classe fonctionnelle n'est pas connue (le problème de l'adaptation).

Programme

Estimateurs à noyaux d'une densité et d'une régression non-paramétrique ;
- Estimateurs par polynômes locaux et par projection ;
- Bornes inférieures et vitesses optimales de convergence des estimateurs ;
- Estimation non-paramétrique asymptotiquement exacte; filtre de Pinsker ;
- Adaptation ;
méthode de contraction de Stein pour l'amélioration des estimateurs, application à la construction d'estimateurs adaptatifs.

Références

A.P. Korostelev, A.B Tsybakov : Minimax theory of image reconstruction. Springer, N.Y. e.a., Lecture Notes in Statist. v. 82, 1993.
I.A.Ibragimov, R.Z. Hasminskii : Statistical estimation: asymptotic theory. Springer, N.Y. e.a., 1981.

Etude approfondie du mouvement brownien

M. Yor

2 heures de cours, 2 heures de T.D. par semaine

Programme L'objet de ce cours est de mettre en évidence l'importance du calcul stochastique, de la théorie des excursions et de certaines transformations des trajectoires dans l'étude du mouvement brownien réel. Ces méthodes permettent d'établir, souvent de manière directe et élégante, un grand nombre de propriétés fines du mouvement brownien.

Le calcul stochastique a été introduit au 1er semestre dans le cours de J.-F. Le Gall (qu'il est donc indispensable d'avoir suivi). On le complète avec la notion de temps local d'une semimartingale, ce qui permet d'étendre la formule d'Itô à des fonctions qui ne sont pas de classe . Dans le cas brownien, on présente des identités en loi dues à P. Lévy (qui lient le temps local et le supremum du mouvement brownien) et à D. Ray et F. Knight.

La notion de temps local conduit naturellement à celle d'excursion (portion de trajectoire comprise entre deux zéros consécutifs). Le point de départ de la théorie est la caractérisation (dûe à K. Itô) du processus des excursions comme processus de Poisson ponctuel. On peut alors calculer les lois de nombreuses fonctionnelles associées au mouvement brownien. L'efficacité de la théorie est renforcée par les descriptions explicites de la mesure d'excursion dues à D. Williams et J.M. Bismut.

Les diverses descriptions de la mesure des excursions browniennes font apparaître le processus de Bessel de dimension 3, c'est-à-dire la norme euclidienne d'un mouvement brownien dans . On présente plusieurs autres transformations trajectorielles qui relient le brownien réel et le processus de Bessel. Ces transformations permettent d'expliquer de façon plus satisfaisante certaines identités en loi qui avaient été observées indépendamment.

Dans la seconde moitié des années 80, l'étude des points multiples du mouvement brownien plan a été développée systématiquement, grâce à la construction de mesures aléatoires, les temps locaux d'intersection, portées par les instants auxquels la trajectoire brownienne se recoupe. La fin du cours sera consacrée à la présentation des résultats concernant la mesure de Wiener dans ou , dont l'étude asymptotique est très liée aux points multiples du mouvement brownien (pour cette dernière partie, voir le cours de J.F. Le Gall à l'Ecole d'Eté de Saint-Flour).

Références

I. Karatzas - S. Shreve : Brownian motion and stochastic calculus. Springer (1987).
J.F. Le Gall : Some properties of planar Brownian motion. In : Ecole d'Eté de Probabilités de Saint-Flour XX, 1990. Lecture Notes in Mathematics 1527. Springer (1992).
D. Revuz - M. Yor :  Continuous martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, (1991).
L.C.G. Rogers - D. Williams : Diffusions, Markov Processes and Martingales. Wiley (1987).